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フィボナッチ数

フィボナッチ数
<参考図書>
ジョセフ・ダグニーズ著、ジョン・オブライエン画
「フィボナッチー自然の中にかくれた数を見つけた人」
2010 さえら書房

フィボナッチ数

G - フィボナッチ数の総和 解説 /

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Problem Statement

  • $a_1=a_2=1$, $a_=a_+a_k \ (k \ge 1)$
  • $d_ = a_j$
  • $d_ = \sum_^j d_ \ (i \ge 2)$

Input

The input is given from standard input in the following format.

Output

  • Print $d_$ modulo $998,244,353$.

Constraints

  • $1 \le n \le 200,000$
  • $1 \le m \le フィボナッチ数 10^$

Subtasks

  • The testcase in this subtask satisfies $1 \le n, m \le 3,000$.
  • The testcase in this subtask satisfies $1 \le m \le 200,000$.
  • The testcase in this subtask satisfies $1 \le n \le 3$.
  • The testcase in this フィボナッチ数 subtask satisfies $1 \le n \le 1000$.
  • There are no additional constraints.

Sample フィボナッチ数 Input 1

Sample Output 1

The sequence is following:
フィボナッチ数
$d_$ $d_$ $d_$ $d_$ $d_$ $d_$ $d_$
$d_1$ 1 1 2 3 5 8 13
$d_2$ 1 2 4 7 12 20 33
$d_3$ 1 3 7 14 26 46 79
$d_4$ 1 4 11 25 51 97 176

As a result, the answer is $d_ = 176$.

Sample Input 2

Sample Output 2

Sample Input 3

Sample Output 3

You can calculate that $d_ <16, 30>= 1,193,004,フィボナッチ数 フィボナッチ数 294,685$.
Please don't forget printing the answer mod $998,244,353$.

【応用】フィボナッチ数列の一般項

右辺を左辺に移行すれば\[ F_-(\alpha+\beta) F_ +\alpha\beta F_n=0 \]となります。同じように元の漸化式も変形すると\[ F_-F_-F_n=0 \]となります。これらのことから、 $\alpha,\beta$ は\[ x^2-x-1=0 \]の解になることがわかります。これはちょうど漸化式で $F_$ を $x^2$ に、 $F_$ を $x$ に、 $F_n$ を $1$ に置き換えた式になっています。

これを解くと、\[ x=\frac <1\pm\sqrt<5>> \]となります。このプラスの方を $\alpha$ とし、マイナスの方を $\beta$ とすると、次の2つの式が成り立ちます。
\begin F_-\alpha F_ &=& \beta(フィボナッチ数 F_-\alpha F_n) \\[5pt] F_-\beta F_ &=& \alpha(F_-\beta F_n) \\[5pt] \end1つ目の式から、 $\$ は、公比が $\beta$ の等比数列であることがわかります。初項は \begin F_2-\alpha F_1 &=& 1-\frac > \\[5pt] &=& \frac > \\[5pt] &=& \beta \endであることがわかります。よって、\[ フィボナッチ数 F_-\alpha F_n=\beta^n \]となります。

また、2つ目の式から $\-\beta F_n\>$ は公比が $\alpha$ の等比数列であることがわかります。初項は フィボナッチ数
\begin F_2-\beta F_1 &=& 1-\frac > \\[5pt] &=& \frac > \\[5pt] &=& \alpha \endなので、\[ F_-\beta F_n=\alpha^n \]となります。

2つを並べると
\begin F_-\alpha F_n &=& \beta^n フィボナッチ数 \\[5pt] F_-\beta F_n &=& \alpha^n \endとなり、下の式から上の式を引けば \begin (フィボナッチ数 \alpha-\beta)F_n &=& \alpha^n-\beta^n \\[5pt] \endとなります。ここで、\[ \alpha-\beta=\frac >-\frac >=\sqrt \]なので、 \begin F_n &=& \frac フィボナッチ数 <\sqrt>\left\ <\left(\frac>\right)^n-\left(\frac >\right)^n\right\> \\[5pt] \endとなることがわかります。これが、フィボナッチ数列の一般項です。

フィボナッチ数列とは? フィボナッチ数 問題に隠れた規則性に気づけるようにしよう

中学入試では、並べられた数字から規則性を見つけ出す問題がよく出題されます。数列で有名なものといえば、等差数列、等比数列、階差数列などですが、ひときわ目立つ名前の数列があります。それがフィボナッチ数列です。名前からして異彩を放っていますが、その性質も神秘に満ちたもので、魅了されてしまった科学者も多くいるほどです。今回は中学受験に向けてフィボナッチ数列にどう対処すべきかを、例題を交えながら解説します。

フィボナッチ数列とは?

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144……

まずは規則性を理解する

差を計算すると、フィボナッチ数列らしき数字が出てきました。フィボナッチ数列は、直前の2つの項の数を足したものが次の項の数になる数列です。そのためこのような結果になるんですね。規則自体はとてもシンプルです。一度でもフィボナッチ数列を見たことがあれば、規則性はすぐに理解できるでしょう。

自分で書いてみると簡単さがわかる

「場合の数の問題」にフィボナッチ数列が現れる

【例題1】 階段の登り方は何通り?

4段目までの登り方は、「2段目まで登ってから4段目に到達する2通り」と「3段目まで登ってから4段目に到達する3通り」があるので、合計5通りです。つまり、4段目までの登り方の「場合の数(5通り)」は、2段目までの登り方の「場合の数(2通り)」と、3段目までの登り方の「場合の数(3通り)」の合計になるのです。まさにフィボナッチ数列のような関係になっています。

6段目までの登り方であれば、図を描いて場合分けをしていけば力わざで解けてしまう場合もあります。しかし、15段目までの登り方を答えさせる問題があったらどうでしょうか? 答えは、なんと987通り! フィボナッチ数列であることに気づいていないと、とうてい解くことはできませんね。

【例題2】 タイルの並べ方は何通り?

このとき、「縦2cm×横4cm」の並べ方の「5通り」は、「縦2cm×横2cm」に並べた場合の「2通り」と、「縦2cm×横3cm」に並べた場合の「3通り」を合計したものと同じです。またしても、フィボナッチ数列が見えてきました。

全ての植物をフィボナッチの呪いから救い出す

もし、1 つ前の原基と2 つ前の原基の影響がまったく同じだとしたら、新しい原基は、円弧A C B のちょうど真ん中にできるはずだ。しかし、より古い原基の影響は、新しいものよりも弱いと考えるのが妥当である。この図は、簡略化のために、すべての原基を中心(成長点の中心)から等距離に描いているが、実際は、細胞が大きくなるにつれて分裂組織の中心から遠ざかっていくし、阻害因子が時間とともに分解していくかもしれない。では、どのくらい差があると考えるのが妥当だろうか?

実験的なデータがないので、一番シンプルに、原基が古くなるにつれ一定比率で阻害効果が減衰するものと考える。減衰率をαとすると、原基が1 つ古くなるたびに阻害効果は1/ αになる。1 つ前の原基の影響は1/ α,2 つ前の原基の影響は1/ α2 である。その場合、新しい原基はどこにできるだろうか? これにも正確な実験データはない。仕方がないので、一番おおざっぱに「阻害効果は発生源(葉の原基)からの距離に反比例する」としてしまおう。新しい葉の原基は、左右の原基から、円弧ACB を1/ α:1/ α2 に分割する点である. ちょっと、フィボナッチに似てきた。だが、これではまだαの値は決まらない。

そこで今度は、3 つ前の原基の影響まで考慮に入れてみる。図19 のように、新しい原基から3 つ前までの原基までの距離の比は、DC:DB:DA = 1/ α:1/ α2:1/ α3 フィボナッチ数 となる

ここでもう1つ条件を加えたい。それは、「回転の角度は常に一定」である(これはほとんどの植物で保たれている)。この条件を加えると、線分(円弧)DB とAC が等しくなる。となると……

あれ、あれ、あれ? こ、この関係は……、なんか黄金比のと似てる? というか、黄金比の定義そのものだ。

したがって、α = φは自明。まとめると、 ① 1 つ前の原基の阻害効果が一定の比率で減衰する(ただし4 個以上古いものは無視) ② 原基からの阻害効果は距離に反比例する と仮定すれば、自動的に回転角度= 黄金角になってしまうのだ。

この2 つの仮定は、もちろん黄金比の原理に合わせるために作った恣意的なものである。しかし、一番シンプルな仮定であることは間違いなく、結構ありそうな仮定である。しかも、現実に植物の多くはフィボナッチ配列になっているのだ。ということは、この2 つの仮定が実際に正しいことは、かなりの確率であると思うがどうだろう。もしそうであれば,影を作るとか作らないとかには関係なく、必然的に黄金角なのだから、パイナップルや松ぼっくりのらせんの理由も説明には困らない。図14 B で示したように、黄金角の回転をすれば起点の近くには、フィボナッチ数しかないんだから。右向きらせんも左向きらせんも、フィボナッチ数のらせんが必然的にできてしまう。どのフィボナッチ数を選ぶかは、実の円周と種が何個並べるか、で決まるだけ。というわけで、分割点を決めるやり方そのものが、黄金比の定義と同じなので、角度が黄金比になるのは、不思議でも神秘的でもなく、当たり前なのである(もちろんこの仮説が正しかった場合です)。

フィボナッチ数列板
~ “Fibonacci numbers board” ~

<ウサギのつがい(組)の増え方>
(1)1組のウサギは産まれて1ヶ月で大人になり、2ヶ月後から1組のウサギを産む。
(2)ウサギは死なない。
スタートは赤ちゃんウサギ1組です。1ヶ月後は大人ウサギ1組になり、2ヶ月後は大人ウサギ1組と赤ちゃんウサギ1組で計2組、3ヶ月後は大人ウサギ2組と赤ちゃんウサギ1組で計3組、4ヶ月後は大人ウサギ3組と赤ちゃんウサギ2組で計5組…というふうに増えていきます。
また、フィボナッチ数は自然の中に実際に存在していることで有名です。ひまわりや松ぼっくり、パイナップルの螺旋の数、多くの花びらの枚数がフィボナッチ数になっています。

さらに、フィボナッチ数にはおもしろい性質があります。1つの数をその手前の数で割ると、 だんだん「黄金比=1.618 ・・・ 」と表される数に近づいていくのです。最初は1/1=1からスタートしますが、3/2=1.5、 5/3=1.666 ・・・ 、 8/5=1.6、 13/8=1.625と進み、あっという間に1.618 ・・・ に近くなっていきます。
フィボナッチ数の魅力をいくつか紹介しました。興味を持ってくださった方はぜひ調べてみてください。
(数学科 園田毅)

下のグラフは、1つのフィボナッチ数をその手前の数で割ると、だんだん「黄金比=1.618 ・・・ 」と表される数に近づいていく様子をGeoGebraで描いたものです。y座標がだんだん1.618 ・・・ に近づいていきます。

<参考図書>
ジョセフ・ダグニーズ著、ジョン・オブライエン画
「フィボナッチー自然の中にかくれた数を見つけた人」
2010 さえら書房

三浦伸夫著 フィボナッチ数
「フィボナッチ アラビア数学から西洋中世数学へ」
2016 現代数学社

“Fibonacci numbers board” フィボナッチ数
We put the board with “Fibonacci numbers” written on it on the bookshelf on the third floor in our math area.
Fibonacci フィボナッチ数 フィボナッチ数 numbers (sequence) are below.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 ・・・
The previous 2 numbers make the present number. For example,
1+1 = 2、5+8 = 13、21+34 = 55 etc.
Fibonacci introduced these numbers as the problem with rabbits in his book ‘Liber Abaci’ (1202). The contents are as follows.

Way of increasing rabbit pairs
(1) A pair of rabbit become an adult 1 month after their birth and have a pair of babies.
(2) Rabbits never die.
First, there is 1 pair of baby rabbits. They become 1 adult pair 1 month after birth, become 2 pairs including 1 adult pair and 1 baby pair 2 months after, become 3 pairs including 2 adult pairs and 1 baby pair 3 months after, and become 5 pairs including 3 adult pairs and 2 フィボナッチ数 baby pairs 4 months after.

Also, Fibonacci numbers are famous for its presence in nature. The フィボナッチ数 numbers of spiral in a sunflower, a pine corn and a pineapple, and フィボナッチ数 the numbers of many kinds of flower petals are Fibonacci numbers.
Besides, there are interesting characteristics in Fibonacci numbers. The answer of the value what a Fibonacci number divided by the second number
gets close to the golden ratio. 3/2 = 1.5, 5/3 = 1.666 ・・・ ,
8/5 = 1.6, 13/8 = 1.625, it is getting close to 1.618・・・ in this way.
We introduced the fascination of Fibonacci numbers. Let’s research them if you take an interest in them.
by Tsuyoshi Sonoda (Math Dept.)

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