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フィボナッチ数列の一般項

フィボナッチ数列の一般項
表:うさぎのつがい問題5ヶ月 / credit:Wikipedia「フィボナッチ数」(表のデザインはナゾロジー編)

フィボナッチ数列の一般項を計算する(※ただし有理数に限る)

さて、この FibNum こと Rational の二要素からなるタプルは、左に \( \sqrt \) が付かない項を、右に \( \sqrt \) が付く項を格納することしよう。つまり (1, 1) と書けば \( 1 + \sqrt \) のこと。 (0, 1) と書けば \( \sqrt \) のこと。 (1 % 2, 1 % 3) と書けば \( \frac + \frac \sqrt \) のことを表す。

式を書き下す

OK。さすがにちょっと見づらいがまあ仕方ない。でも fibDiv として素直に除算を除算のまま書き下してしまった。除算は \( 0 \) で割れないとか面倒なこともあるので、乗算の形にしておきたい。

まず、 (1, 1) `fibDiv` (2, 0) は要するに \( \frac> \) のことだが、こんなものは \( \frac + \frac\sqrt \)、つまり (1 % 2, 1 % 2) としてしまえば良い。

後ろ側の \( \sqrt \) で割る処理は、逆数であるところの \( \frac<\sqrt> \) 、つまり \( \frac<\sqrt> \) を掛ければ良い。\( \frac<\sqrt> \) ってことは \( 0 + \frac\sqrt \) だから、ここでの表現では (0, 1 % 5) ってことだ。

演算子を実装する : 累乗

\( n \) が大きいとそのまま \(n – 1\) 回の乗算をすることになってちょっとばかり遅い。二乗の結果が使えるところはどんどんそれを使って計算させることにしよう。乗算の回数が最大でも \( 2 \log \) 回で済む。

演算子を実装する : 乗算

FibNum の乗算とは何かと言うと、\( (a + b\sqrt)(c + d\sqrt) \) ってことで、つまり、

\begin & & (a + b\sqrt)(c フィボナッチ数列の一般項 + d\sqrt) \\ &=& ac + ad\sqrt + bc\sqrt + 5bd \\ &=& (ac + 5bd) フィボナッチ数列の一般項 + (ad + bc)\sqrt \end

フィボナッチ数列の一般項

式(1)に関しては、$\boldsymbol-\alpha F_n\>>$ フィボナッチ数列の一般項 をまるごと1つの数列だと考えると、この数列は公比 $\beta$ の等比数列になっていることがわかります。
初項は、$n=1$ とすると
$$ \begin F_2-\alpha F_1 &=& 1- \frac> \cdot 1\\
&=& \frac>\\
&=& \beta \end $$となります。
つまり数列 $\-\alpha F_n\>$ は初項も公比も $\beta$ だったというわけですね。よって、
$$ F_-\alpha F_n = \beta ^n \tag $$となります。

同様に、式(2)についても見ていきましょう。こちらも $\boldsymbol-\beta F_n\>>$ をまるごと1つの数列だと考えると、この数列は公比 $\alpha$ の等比数列になっていることがわかります。
初項は、$n=1$ とすると
$$ \begin F_2-\beta F_1 &=& 1- \frac> \cdot 1\\
&=& \frac>\\
&=& \alpha \end $$となります。
つまり数列 $\-\beta F_n\>$ の方は初項も公比も $\alpha$ だったとわかります。よって、
$$ F_-\beta F_n = \alpha ^n \tag $$となります。

最初の2項が「1, 1」でない場合

ここまでは、フィボナッチ数列の最初の2項を「1, 1」とする最も一般的な場合のことを考えてきました。
では、最初の2項が「1, 1」ではない場合、どのような一般項になるのしょうか。

前の2項を足すと次の項」というルールは変えません。

漸化式の特性方程式の2解
$$\alpha=\frac> , \ \beta=\frac>$$を用いて漸化式を変形すると、
$$ \begin フィボナッチ数列の一般項 F_-\alpha F_ &=& \beta (F_-\alpha F_n) \tag \\ F_-\beta フィボナッチ数列の一般項 F_ &=& \alpha (フィボナッチ数列の一般項 F_-\beta F_n) \tag \end $$となる所までは先ほどと同じです。
ここから最初の2項を変えた影響が出てきます。

式(6)の数列 $\-\alpha F_n\>$ は公比 $\beta$ の等比数列です。
初項は、
$$ F_2-\alpha フィボナッチ数列の一般項 F_1=b-\alpha a $$となります。よって、
$$ F_-\alpha F_n = ( b-\alpha a )\beta^ \tag $$となることがわかります。
同様に、式(7)からは
$$ F_-\beta F_n = ( b-\beta a )\alpha^ \tag $$という関係が得られます。
式(9)-式(8)を計算すると
$$(フィボナッチ数列の一般項 \alpha-\beta)F_n=( b-\beta a )\alpha^-( b-\alpha a )\beta^$$となります。
この両辺を $\alpha-\beta$ で除すと、

神秘「フィボナッチ数列」とは?|ウサギのつがいの問題と黄金比との関連も解説

仲の良さそうなうさぎのつがい

仲の良さそうなうさぎのつがい / credit:Unsplash

1202年の著作『計算の書』には、「ウサギのつがいの問題」と呼ばれている有名な問題が掲載されています。実は、この本の著者であるレオナルド・ピサノは、現在では「フィボナッチ」の名で知られている数学者です。

それでは0ヶ月後~4ヶ月後について、一つずつ具体的に考えてみましょう。

0ヶ月後には、最初に存在する1つがいのウサギしかいません。そのため、合計1つがいです。

1ヶ月後には、最初に存在する1つがいのウサギが生後1ヶ月となります。まだ、子どもを産まないので、合計1つがいです。

2ヶ月後には、最初に存在する1つがいのウサギが生後2ヶ月となり、子どもを1つがい産みます。したがって、2ヶ月後にいるウサギのつがいは、

合計2つがいです。

3ヶ月後には、最初に存在する1つがいのウサギが生後3ヶ月となり、子どもを1つがい産みます。

合計3つがいです。

4ヶ月後には、最初に存在する1つがいのウサギが生後4ヶ月となり、子どもを1つがい産みます。

合計5つがいです。

表:うさぎのつがい問題0ヶ月〜4ヶ月

表:うさぎのつがい問題0ヶ月〜4ヶ月 / credit:Wikipedia「フィボナッチ数」(表のデザインはナゾロジー編)

以上を合計すると、2+3+3つがい、つまり、5ヶ月後は合計8つがいとなるのです。

表:うさぎのつがい問題5ヶ月

表:うさぎのつがい問題5ヶ月 / credit:Wikipedia「フィボナッチ数」(表のデザインはナゾロジー編)

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